โดยที Q{\displaystyle Q} คือ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และ AH{\displaystyle A^{H}} คือ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของ A{\displaystyle A}
สมการเลียปูนอฟมักถูกใช้ในหลายสาขาของทฤษฎีระบบควบคุมเช่น ในการวิเคราะห์เสถียรภาพ และการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control) โดยชื่อของสมการนี้ตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918)
ในที่นี้เรากำหนดให้ A,P,Q?Rn?n{\displaystyle A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}} และ P{\displaystyle P} และ Q{\displaystyle Q} เป็นเมทริกซ์สมมาตร สัญลักษณ์ P>0{\displaystyle P>0} หมายถือว่า P{\displaystyle P} คือ เมทริกซ์บวกแน่นอน (Positive-definite matrix)
ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่อง ถ้ามี P>0{\displaystyle P>0} และ Q>0{\displaystyle Q>0} ที่สามารถทำให้ ATP+PA+Q=0{\displaystyle A^{T}P+PA+Q=0} เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น (linear system) x?=Ax{\displaystyle {\dot {x}}=Ax} เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable) โดยที่สมการกำลังสอง V(z)=zTPz{\displaystyle V(z)=z^{T}Pz} นั้นจะนิยามเป็น ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (Lyapunov function) ซึ่งใช้ในการตวรจสอบเสถียรภาพของระบบ
ทฤษฎีเสถียรภาพกรณีเวลาต่อเนื่องไม่ต่อเนื่อง ถ้ามี P>0{\displaystyle P>0} และ Q>0{\displaystyle Q>0} ที่สามารถทำให้ ATPA?P+Q=0{\displaystyle A^{T}PA-P+Q=0} เป็นจริงแล้ว ระบบเชิงเส้น x(t+1)=Ax(t){\displaystyle x(t+1)=Ax(t)} เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ และ zTPz{\displaystyle z^{T}Pz} นั้นคือฟังก์ชันเลียปูนอฟ
สมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่องสามารถใช้ ส่วนเติมเต็มชูร์ (Schur complement) ในการคำนวณได้ดังขั้นตอนวิธีที่แสดงข้างล่างนี้
นอกจากนี้ยังมีซอฟต์แวร์เฉพาะทางให้เลือกใช้ในการคำนวณสมการเลียปูนอฟ โดยในกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง วิธีการของชูร์โดยกิตากาวา (Schur method of Kitagawa) มักเป็นที่นิยม ในขณะที่กรณีสมการเลียปูนอฟต่อเนื่องวิธีการของ บาร์เทล และ ชวาร์ซ? สามารถใช้ได้เช่นกัน
เราสามารถหาผลตอบเชิงวิเคราะห์ (analytic solution) สำหรับกรณีสมการเลียปูนอฟไม่ต่อเนื่อง โดนนิยามให้ vec(A){\displaystyle {\text{vec}}(A)} เป็นตัวดำเนินการที่ทำการเรียงซ้อนคอลัมน์ของเมทริกซ์A{\displaystyle A} และนิยาม kron(A,B){\displaystyle {\text{kron}}(A,B)}เป็น ผลคูณโคนเน็กเกอร์ (Kronecker product) ระหว่าง A{\displaystyle A} และ B{\displaystyle B} และโดยใช้ผลจาก vec(ABC)=kron(CT,A)vec(B){\displaystyle {\text{vec}}(ABC)={\text{kron}}(C^{T},A){\text{vec}}(B)}, เราสามารถใช้ (I?kron(A,A))vec(X)=vec(Q){\displaystyle (I-{\text{kron}}(A,A)){\text{vec}}(X)={\text{vec}}(Q)} เมื่อ I{\displaystyle I} คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์ที่ conformable จากนั้นเราสามารถแก้สมการสำหรับหาค่าของ vec(X){\displaystyle {\text{vec}}(X)} โดยหาเมทริกซ์ผกผันหรือการแก้สมการเชิงเส้น โดยในการได้มาซึ่งค่า X{\displaystyle X} ต้องมีการปรับขนาดของ vec(X){\displaystyle {\text{vec}}(X)} อย่างเหมาะสมด้วย
