ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม เป็นปัญหาที่อยู่บนพื้นฐานของคณิตศาสตร์ 7 ข้อ ซึ่งเสนอในปีค.ศ. 2000 โดยสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ จากการรวบรวมปัญหาสำคัญในวงการวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ ซึ่งยังพิสูจน์ไม่สำเร็จในขณะนั้น ให้เป็นปัญหาแห่งคริสต์ศตวรรษที่ 21 โดยสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ประกาศมอบเงินรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐให้กับผู้ที่สามารถพิสูจน์ปัญหาข้อใดข้อหนึ่งได้สำเร็จ
ในปี ค.ศ. 2006 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้มอบรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐ ให้กับกริกอรี เพเรลมาน ผู้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร หนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมได้สำเร็จ เป็นปัญหารางวัลมิลเลนเนียมเพียงปัญหาเดียวที่พิสูจน์สำเร็จจนถึงปัจจุบันนี้
ปัญหาพีและเอ็นพีเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีการคำนวณ ซึ่งศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณ ระหว่างกลุ่มความซับซ้อนพี (P) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ ค้นหา (search) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม กับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี (NP) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ ตรวจสอบ (verify) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม
ปัญหาพีและเอ็นพีตั้งข้อสงสัยว่ากลุ่มความซับซ้อนพีและเอ็นพีเป็นกลุ่มปัญหาเดียวกันหรือไม่ ? เพราะกลุ่มความซับซ้อนพีจะเป็นเซตย่อยของกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพีเสมอ เนื่องจากเราสามารถตรวจสอบ คำตอบด้วยการ ค้นหา คำตอบได้ แต่ในปัจจุบันยังพิสูจน์ไม่ได้ว่ากลุ่มความซับซ้อนเอ็นพีจะเป็นเซตย่อยของกลุ่มความซับซ้อนพีหรือไม่? เนื่องจากมีกลุ่มปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ (NP-Complete) ซึ่งสามารถ ตรวจสอบ คำตอบได้ในเวลาพหุนาม แต่ยังไม่พบ ขั้นตอนวิธี ค้นหา คำตอบด้วยความเร็วระดับเวลาพหุนาม
เนื่องจากกลุ่มปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์เป็นกลุ่มปัญหาที่ลดรูปซึ่งกันและกัน และลดรูปกับกลุ่มปัญหาเอ็นพีทั้งหมด ดังนั้นหากค้นพบขั้นตอนวิธี ค้นหา คำตอบของปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ปัญหาใดปัญหาหนึ่งเป็นเวลาพหุนาม กลุ่มความซับซ้อนพีจะเป็นกลุ่มปัญหาเดียวกับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี แต่หากมีบทพิสูจน์ว่าไม่มีขั้นตอนวิธีใดสามารถ ค้นหา คำตอบของปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์เป็นเวลาพหุนาม กลุ่มความซับซ้อนพีจะไม่ใช่กลุ่มปัญหาเดียวกับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี
หากกลุ่มความซับซ้อนพีเท่ากับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี ปัญหาใดที่ ตรวจสอบ คำตอบได้ในเวลาพหุนาม จะสามารถ ค้นหา คำตอบได้ในเวลาพหุนามไปด้วย ทำให้การ ค้นหา ซึ่งเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ สามารถทำได้รวดเร็วมากขึ้น และถึงแม้พิสูจน์ได้ว่ากลุ่มความซับซ้อนพีไม่เท่ากับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี นักคณิตศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็จะเข้าใจรายละเอียดของการ ตรวจสอบ และการ ค้นหา มากขึ้น และทำให้เข้าใจปัญหาทางคณิตศาสตร์ ชีววิทยา ปรัชญา และปัญหาวิทยาการรหัสลับได้อย่างลึกซึ้งขึ้น
ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นปัญหาสำคัญทางทอพอโลยี ซึ่งศึกษาสมานสัณฐาน (Homeomorphism) กล่าวคือ ความสามารถในการยืดหดของพื้นผิว (Manifold) ต่าง ๆ ระหว่างคุณสมบัติที่ห่วง (Loop) บนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด (Simply connected) กับความสามารถในการยืดหดพื้นผิวให้กลายเป็นทรงกลมได้ ในโลก 3 มิติ อองรี ปวงกาเร พิสูจน์ได้ว่า พื้นผิวสอง มิติปิด (Closed) ที่ห่วงบนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุดได้ จะยืดหดพื้นผิวเป็นผิวทรงกลมได้เสมอ
ข้อคาดการณ์ของปวงกาเรตั้งข้อสงสัยว่าในโลก 4 มิติ พื้นผิว 3 มิติใด ๆ ที่ห่วงบนพื้นผิวสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด จะยืดหดพื้นผิวเป็นทรงกลมผิว 3 มิติได้หรือไม่ ? ทั้งนี้พื้นผิว 4 มิติได้รับการพิสูจน์ว่าจริงในปี ค.ศ. 1961 โดย Stephen Smale และพื้นผิวที่มากกว่า 4 มิติขึ้นไปได้รับการพิสูจน์ว่าจริง Michael Freedman ในปีค.ศ. 1982 แต่พื้นผิว 3 มิติ กลับเป็นปัญหาเดียวที่ยังพิสูจน์ไม่ได้จนถึงค.ศ. 2000
จนในที่สุด ในปีค.ศ. 2003 กริกอรี เพเรลมานได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของปวงกาเร บทพิสูจน์ได้รับการตรวจสอบเสร็จในปีค.ศ. 2006 เพเรลมานได้รับการคัดเลือกให้ได้รับรางวัลฟิลด์มีเดิล แต่เพเรลเมนปฏิเสธรางวัลดังกล่าว สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ประกาศให้รางวัลมิลเลเนียมในวันที่ 18 มีนาคม 2010 แต่เพเรลมานก็ปฏิเสธเช่นกัน โดยไม่ได้ให้เหตุผลกับทางสถาบัน อย่างไรก็ดี เขาได้อธิบายว่านี่เป็นงานของชุมชนคณิตศาสตร์ และความสำเร็จนี้ก็เป็นของนักคณิตศาสตร์ทั้งปวง การให้รางวัลนี้จึงไม่ยุติธรรม เพราะความสำเร็จในการพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรของเขานั้น ไม่ได้ยิ่งใหญ่ไปกว่าคุณูปการของ Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดที่เพเรลมานนำมาต่อยอดเพื่อพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร เลย
การพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ทำให้ข้อความที่ว่า พื้นผิวที่ห่วงบนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด (Simply connected) จะสามารถยืดหดพื้นผิวให้กลายเป็นทรงกลมได้ เป็นจริงในทุกมิติ ทำให้ใช้วิธีนี้เป็นวิธีทดสอบพื้นฐานทางทอพอโลยี ทั้งทอพอโลยีแบบดั้งเดิม และทอพอโลยีขั้นสูงอีกด้วย
สมมติฐานของรีมันน์เป็นปัญหาสำคัญทางทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ สมมติฐานรีมันน์เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งมีส่วนช่วยปรับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ให้แสดงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ถูกต้องยิ่งขึ้น ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยค่า z ที่มีส่วนจริง (Real part) มากกว่าศูนย์ และทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์จะมีผลกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ ซึ่งทุก ๆ ค่า z เท่าที่แบร์นฮาร์ด รีมันน์และนักคณิตศาสตร์ผู้อื่นพบว่าคุณสมบัตินี้ กลับอยู่บนเส้นตรงส่วนจริงเท่ากับ 1/2 เท่านั้น และยังไม่พบที่บริเวณอื่นเลย
สมมติฐานรีมันน์ตั้งข้อสงสัยว่า นอกจากค่า z ที่มีส่วนจริงเท่ากับ 1/2 แล้ว ไม่มีค่า z ที่ส่วนจริงมากกว่าศูนย์ใด ๆ อีกที่ทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์
หากค้นพบว่ามีค่า z อื่นที่ส่วนจริงมากกว่าศูนย์และทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์ สมมติฐานรีมันน์จะผิดทันที แต่หากมีบทพิสูจน์ว่าไม่มีค่า z อื่นที่ส่วนจริงมากกว่าศูนย์ใด ๆ ที่ทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์ สมมติฐานรีมันน์ก็จะถูกต้อง
สมมติฐานรีมันน์มีผลกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ ถ้าสมมติฐานรีมันน์ผิด แสดงว่าจำนวนเฉพาะกระจายตัว ไม่สม่ำเสมอ ทำให้การค้นหาจำนวนเฉพาะมีความเอนเอียง (bias) ซึ่งจะมีผลกระทบต่อวิทยาการที่อยู่บนพื้นฐานของจำนวนเฉพาะ เช่น วิทยาการรหัสลับ เป็นต้น
ปัญหาการมีอยู่ของหยาง-มิลล์ และมวลพื้น เป็นปัญหาสำคัญทางฟิสิกส์ อยู่ภายใต้ความพยายามสร้างทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่และทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง ในขณะนี้ ทฤษฎีหยาง-มิลส์ ได้รวบรวมคุณสมบัติทางฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติทางทฤษฎีสนามควอนตัม ไว้จำนวนมาก แต่ทฤษฎีหยาง-มิลส์ยังอธิบายคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับการสังเกตไม่ได้ เช่น คุณสมบัติ Renormalization บน 4 มิติ คุณสมบัติของอนุภาคที่เกี่ยวพันกับมวล-พลังงาน คุณสมบัติของอนุภาคในนิวเคลียสของอะตอม
ปัญหาการมีอยู่ของทฤษฎีหยาง-มิลส์และมวลพื้น จึงตั้งคำถามว่า จงสร้างกรุป ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ที่มีคุณสมบัติ Renormailization ใน 4 มิติ สามารถลดรูปไปยังทฤษฎีหยาง-มิลส์ และสามารถอธิบายระบบทางฟิสิกส์ได้ โดยเกี่ยวพันกับมวล-พลังงานค่าหนึ่งที่มากกว่าศูนย์เสมอ (ยกเว้นระบบสูญญากาศ) ค่ามวล-พลังงานนี้ เรียกว่ามวลพื้น (Mass gap)
หากค้นพบแบบจำลองดังกล่าว เราอาจเข้าใจคุณสมบัติของสนามแรงเพิ่มเติม และเข้าใกล้ทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่ และทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง
