ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส (อังกฤษ: Fundamental theorem of calculus) เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก (First fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง f {\displaystyle f} ใด ๆ ปฏิยานุพันธ์ของ f {\displaystyle f} สามารถหาได้จากการอินทิเกรต f {\displaystyle f} เหนือช่วงสักช่วง แล้วให้ขอบเขตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปรของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง (Second fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน f {\displaystyle f} เหนือช่วงสักช่วง จะเท่ากับผลต่างของค่าของปฏิยานุพันธ์ของ f {\displaystyle f} ที่จุดขอบของช่วง

ทฤษฎีบททั้งสองเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส ผลสืบเนื่องสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่น ๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ ของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมาก ๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า Δ x {\displaystyle \Delta x} คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมาก ๆ

ผลรวมอนันต์นี้ คือ ปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

ให้ f {\displaystyle f} เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} และ F {\displaystyle F} เป็นฟังก์ชันบนช่วง [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} นิยามโดย

แล้ว F {\displaystyle F} ต่อเนื่องบน [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า f {\displaystyle f} เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} แล้ว F {\displaystyle F} หาอุนพันธ์ได้ทุกจุดบน [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} และ F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)\,} สำหรับทุก x {\displaystyle x} ในช่วง [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}

ให้ f {\displaystyle f} เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ถ้า f ′ {\displaystyle f'} หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} แล้ว

จาก lim Δ x → 0 x 1 = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}} และ lim Δ x → 0 x 1 + Δ x = x 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}}

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

ให้ a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n − 1 < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b} จะได้

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง xi-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

จาก F ′ ( c i ) = f ( c i ) {\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})\,} และ x i − x i − 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i-1}} สามารถเขียนในรูป Δ x {\displaystyle \Delta x} ของผลแบ่งกั้น i {\displaystyle i}

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง สังเกตอีกว่า Δ x i {\displaystyle \Delta x_{i}} ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุก ๆ ค่าของ i {\displaystyle i} หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม n {\displaystyle n} รูป เมื่อขนาดของส่วนต่าง ๆ เล็กลง และ n {\displaystyle n} มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่าง ๆ มากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริง ๆ ของเส้นโค้ง

โดยหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่าง ๆ นี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ให้ f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} เราจะได้ F ( x ) = x 3 3 {\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}} เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

จะได้ ∫ 1 3 d x x = [ ln ⁡ | x | ] 1 3 = ln ⁡ 3 − ln ⁡ 1 = ln ⁡ 3 {\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {dx}{x}}={\big [}\ln |x|{\big ]}_{1}^{3}=\ln 3-\ln 1=\ln 3}

เราไม่จำเป็นต้องให้ f {\displaystyle f} ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า f {\displaystyle f} เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} และ x 0 {\displaystyle x_{0}} เป็นจำนวนในช่วง [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ซึ่ง f {\displaystyle f} ต่อเนื่องที่ x 0 {\displaystyle x_{0}} จะได้

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} และ F ( x 0 ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(x_{0})=f(x_{0})} เราสามารถคลายเงื่อนไขของ f {\displaystyle f} เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน F {\displaystyle F} นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน f {\displaystyle f} ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ F {\displaystyle F} (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ U {\displaystyle U} เป็นเซตเปิดใน C {\displaystyle \mathbb {C} } และ f : U → C {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ F {\displaystyle F} ใน U {\displaystyle U} ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง γ : [ a , b ] → U {\displaystyle \gamma :[a,b]\to U} ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้ผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์