ทฤษฎีจำนวน (อังกฤษ: number theory) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติของจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาสาขานี้เรียกว่า นักทฤษฎีจำนวน นักทฤษฎีจำนวนศึกษาจำนวนเฉพาะ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนเต็ม เช่น จำนวนตรรกยะ ตลอดจนถึงจำนวนอื่น ๆ ซึ่งเกิดจากการขยายนัยทั่วไปของจำนวนเต็ม เช่น จำนวนเชิงพีชคณิต
คำว่า "เลขคณิต" (arithmetic) มักถูกใช้เพื่ออ้างถึงทฤษฎีจำนวน นี่เป็นการเรียกในอดีต ซึ่งในปัจจุบันไม่ได้รับความนิยมเช่นเคย ทฤษฎีจำนวนเคยถูกเรียกว่า เลขคณิตชั้นสูง ซึ่งเลิกใช้ไปแล้ว อย่างไรก็ตามคำว่า "เลขคณิต" ยังปรากฏในสาขาทางคณิตศาสตร์อยู่ (เช่น ฟังก์ชันเลขคณิต เลขคณิตของเส้นโค้งวงรี หรือ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต) ไม่ควรจะสับสนระหว่างคำว่า เลขคณิต นี้ กับเลขคณิตมูลฐาน (elementary arithmetic) หรือสาขาของตรรกศาสตร์ที่ศึกษาเลขคณิตปีอาโนในรูปของระบบรูปนัย
เป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีจำนวนที่ศึกษาจำนวนโดยไม่ได้ใช้ความรู้ชั้นสูงจากสาขาอื่นเลย ปัญหาที่สาขานี้สนใจส่วนใหญ่แล้วจะเกี่ยวกับสมบัติที่น่าสนใจต่าง ๆ ของจำนวนเต็ม เช่น การหารลงตัว (divisibility) การแยกตัวประกอบเฉพาะ (prime factorization) และ จำนวนสมบูรณ์ (perfect number) เป็นต้น ทฤษฎีบทในทฤษฎีจำนวนพื้นฐานจำนวนมากมีประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์สาขาอื่น เช่น ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน (Chinese remainder theorem) ในขณะที่ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์ (Fermat's little theorem) และ ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler's theorem) ถูกนำไปใช้ในงานวิจัยด้านทฤษฎีพื้นฐานของการเข้ารหัส
ปัญหาบางอย่างในสาขานี้สามารถอธิบายให้เข้าใจได้ง่าย แต่ยังเป็นปัญหาเปิดจนถึงปัจจุบัน เช่น
ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ (Analytic number theory) เป็นการศึกษาทฤษฎีจำนวนผ่านเครื่องมือจากสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง หรือการวิเคราะห์เชิงซ้อน จึงเป็นที่มาของชื่อดังกล่าว ลักษณะอีกอย่างหนึ่งของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์คือ เป็นการศึกษาทฤษฎีจำนวนผ่านการประมาณค่า
ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงของสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์คือ ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ในขณะที่หลายปัญหาเปิดในสาขานี้ก็เป็นที่รู้จักกันทั่วไป เช่น ข้อความคาดการณ์ฮาร์ดี-ลิตเติลวูด ปัญหาวอร์ริง และ สมมติฐานรีมันน์
เครื่องมือที่สำคัญในสาขาทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์เช่น วิธีวงกลม วิธีตะแกรง และ แอล-ฟังก์ชัน นอกจากนี้ทฤษฎีของแบบมอดูลาร์ยังเป็นแกนหลักสำคัญของทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์สมัยใหม่ด้วย
