ทฤษฎีเมเชอร์ (อังกฤษ: measure theory) เป็นสาขาทางคณิตศาสตร์ของคณิตวิเคราะห์เชิงจริง เพื่อใช้อธิบายนิยามทางคณิตศาสตร์ของ "ความยาว" "พื้นที่" "ปริมาตร" หรืออะไรก็ตามที่วัดได้ ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก
อย่างไรก็ตาม จุดประสงค์เริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์คือ การนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์ เพื่อขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน มารี คามิลเลอร์ จอร์แดน เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก
จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น จะเห็นว่าแม้ในนิยามอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเมเชอร์ในหัวข้อต่อไปจะดูซับซ้อน แต่แนวคิดของทฤษฎีเมเชอร์นั้นง่ายและสมเหตุสมผลเป็นอย่างยิ่ง.
ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์: ? คือ ฟังก์ชันที่ส่งค่าจากโดเมนประเภทซิกมาแอลจีบรา ? ที่นิยามบนเซต X ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงบวกขยาย [0, ?] และ ? ต้องมีคุณสมบัติสองข้อต่อไปนี้
2. มี สภาพการบวกนับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (?-additivity) : ถ้ากำหนดให้ E1, E2, E3, ... เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆใน ? แล้ว,
เราจะใช้สัญกรณ์ (X,?,?) เพื่อนิยามปริภูมิเมเชอร์ หรืออาจเรียกว่าปริภูมิเมเชอร์. นั่นคือปริภูมิเมเชอร์ประกอบไปด้วยเซต X, ซิกมาแอลจีบรา บนเซต X และฟังก์ชันที่นิยามบน ซิกมาแอลจีบรา นั้น. อนึ่ง แต่ละสมาชิกใน ? จะถูกเรียกว่าเซตที่สามารถวัดได้ (measurable sets).
ในทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์, ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันเมเชอร์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม คือ
นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ (?,F,P){\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ (X,?,?) เนื่องจาก X มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ ? แทนค่าเฉลี่ย .
คำอธิบายอย่างหยาบ: ถ้าวัตถุหนึ่งและวัตถุสองสามารถวัดค่าได้ และวัตถุแรกจริง ๆ แล้วเป็นเพียงส่วนประกอบของวัตถุสอง ค่าที่วัดได้ของวัตถุสองจะมากกว่าหรือเท่ากับวัตถุแรกเสมอ
นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ E1,E2,E3,...{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นเซตใน ? และ En?En+1,?n?N{\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} }, แล้วจะได้ว่า ?n=1?En{\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}} อยู่ใน ? ด้วยและ
กำหนดให้ E1,E2,E3,...{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...} เป็นเซตใน ? และ En+1?En,?n?N{\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} }, แล้วจะได้ว่า ?n=1?En{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}} อยู่ใน ? ด้วยและ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก En{\displaystyle E_{n}} อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด เราจะได้ว่า
คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก En{\displaystyle E_{n}} ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ n ? N,
เราจะได้ว่าทุก ๆ En{\displaystyle E_{n}} มีเมเชอร์อนันต์แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์
