การหารด้วยศูนย์

ในทางคณิตศาสตร์ การหารด้วยศูนย์ หมายถึงการหารที่มีตัวหารเท่ากับ 0 ซึ่งอาจสามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a0{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} โดยที่ a เป็นตัวตั้ง ค่าของนิพจน์นี้จะมีความหมายหรือไม่ขึ้นอยู่กับบทตั้งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบริบท แต่โดยทั่วไปในเลขคณิตของจำนวนจริง นิพจน์ดังกล่าวไม่มีความหมาย

สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ การหารด้วยศูนย์ในจำนวนเต็มอาจทำให้โปรแกรมเกิดข้อผิดพลาดจนหยุดทำงาน หรือในกรณีของจำนวนจุดลอยตัวอาจให้ผลลัพธ์เป็นค่าพิเศษที่เรียกว่า NaN (Not a Number)

การหารในระดับพื้นฐานสามารถอธิบายได้ว่า เป็นการแบ่งเซตของวัตถุออกเป็นส่วนๆ ที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้ามีแอปเปิล 10 ผล และต้องการแบ่งให้คน 5 คนเป็นจำนวนเท่ากัน ดังนั้นแต่ละคนจะได้รับแอปเปิล 105{\displaystyle \textstyle {\frac {10}{5}}} = 2 ผล เป็นต้น

เราจะใช้ปัญหาเดียวกันนี้อธิบายการหารด้วยศูนย์ นั่นคือถ้าคุณมีแอปเปิล 10 ผล แล้วจะแบ่งให้คน คนละ 0 ผล แล้วหาว่าจะสามารถแบ่งให้ "คน" ได้ทั้งหมดกี่คน การคำนวณเพื่อหาค่า 100{\displaystyle \textstyle {\frac {10}{0}}} จะกลับกลายเป็นไม่มีความหมาย เพราะตัวปัญหาเองก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เพราะการแจกแอปเปิลให้ "คน" คนใด คนนั้นก็จะไม่ได้รับแอปเปิล (แจกให้คนละ 0 ผล) หรือสามารถแจกให้คนได้อนันต์เพราะแอปเปิลที่จะแจก ย่อมไม่มีวันหมด นี่เป็นเหตุผลที่เลขคณิตมูลฐานกำหนดให้การหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย หรือไม่นิยาม

อีกทางหนึ่งที่สามารถใช้อธิบายการหารได้นั่นคือการลบซ้ำกันไปเรื่อยๆ ซึ่งการหารด้วยวิธีนี้จะเป็นการลบตัวตั้งด้วยตัวหารหลายๆ ครั้งจนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร และอาจเหลือเศษจากการหารอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น การหาร 13 ด้วย 5 เราสามารถนำ 5 ไปลบออกจาก 13 จำนวน 2 ครั้ง และจะเหลือเศษเท่ากับ 3 ซึ่งสามารถสรุปเป็น 135{\displaystyle \textstyle {\frac {13}{5}}} = 2 เศษ 3 แต่ในกรณีที่ตัวหารเป็น 0 ถึงแม้จะลบตัวตั้งไปถึงอนันต์ครั้ง ก็ยังไม่สามารถทำให้ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวหารได้ ดังนั้นการหารด้วยศูนย์จึงไม่นิยาม

ตำรา พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) (ค.ศ. 598 - 668) ซึ่งเป็นตำราเล่มแรกสุดที่ค้นพบ ที่กำหนดให้เลข 0 เป็นตัวเลขพิเศษ เพื่อนิยามการกระทำทางเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับ 0 โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตามพรัหมคุปตะก็ประสบความล้มเหลวในความพยายามที่จะอธิบายการหารด้วยศูนย์ เพราะคำนิยามของเขาสามารถพิสูจน์ได้ง่ายและนำไปสู่ความผิดพลาด ดังข้อความที่ยกมา

"...จำนวนบวกและลบที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวส่วน ศูนย์ที่หารด้วยจำนวนบวกหรือลบ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวเศษและจำนวนนั้นเป็นตัวส่วน อย่างใดอย่างหนึ่ง ศูนย์ที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์..."

ใน ค.ศ. 830 มหวิระ (Mahavira) พยายามที่จะแก้ข้อผิดพลาดของพรัหมคุปตะแต่ก็ไม่สำเร็จ ซึ่งในหนังสือ คณิตะ สาระ สังครหะ กล่าวไว้ว่า

ในเวลาต่อมาภาสกะระที่ 2 (Bh?skara II) (ค.ศ. 1114 - 1185) พยายามที่จะแก้ปัญหานี้โดยนิยามให้ n0=?{\displaystyle \textstyle {\frac {n}{0}}=\infty } ซึ่งนิยามนี้สามารถมีความเป็นไปได้ แต่ก็อาจนำไปสู่ปฏิทรรศน์หากใช้อย่างไม่ระมัดระวัง ซึ่งปฏิทรรศน์เหล่านั้นก็ยังไม่สามารถแก้ได้จวบจนถึงปัจจุบัน (ดูตัวอย่างที่หัวข้อลิมิต)

สิ่งหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับในหมู่นักคณิตศาสตร์ด้วยกันว่า วิธีธรรมดาที่สุดที่จะใช้อธิบายความหมายของการหารด้วยศูนย์ คือการนิยามการหารด้วยการกระทำทางเลขคณิต กฎเกณฑ์พื้นฐานของเลขคณิตคือจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งภายใต้กฎเกณฑ์ดังกล่าวการหารด้วยศูนย์จะไม่ถูกนิยาม และจะต้องคงไว้อยู่อย่างนั้นในระบบคณิตศาสตร์ใดๆ เพื่อให้เป็นกฎเกณฑ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในฟีลด์ เหตุผลคือการหารถูกนิยามให้เป็นอินเวิร์สของการคูณ นั่นหมายความว่า ค่าของ ab{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} จะมีค่าเท่ากับคำตอบของ x ในสมการ bx = a ตราบใดที่ค่านั้นยังคงมีคำตอบและมีเพียงหนึ่งเดียว นอกเหนือจากนั้นจะปล่อยให้เป็นไม่นิยาม

หากกำหนดให้ b = 0 ในสมการ bx = a จะสามารถเขียนเป็น 0x = a หรือ 0 = a ดังนั้นสมการ bx = a ในกรณีนี้จึง ไม่มีคำตอบเมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 และ มีคำตอบของสมการเป็นค่า x ใดๆ เมื่อ a เท่ากับ 0 ในกรณีดังกล่าวไม่มีค่าใดที่เป็นหนึ่งเดียว ดังนั้น ab{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} จึงไม่นิยาม และในทางกลับกัน นิพจน์ ab{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} จะถูกนิยามว่า b ต้องมีค่าไม่เท่ากับ 0 เสมอ

เราสามารถปลอมแปลงกรณีพิเศษของการหารด้วยศูนย์ด้วยความขัดแย้งทางพีชคณิต โดยใช้การพิสูจน์ที่ไม่สมเหตุสมผลว่า 1 = 2 ดังตัวอย่างต่อไปนี้

เหตุผลวิบัติ (fallacy) อยู่ที่การตั้งสมมติฐานที่ไม่สมบูรณ์ ว่าการหารด้วยศูนย์ทำให้ 00{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} เท่ากับ 1

คนทั่วไปอาจรับรู้ได้ง่ายว่าการพิสูจน์ข้างต้นนั้นไม่สมเหตุสมผล สำหรับความขัดแย้งเดียวกันนี้สามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบอื่นซึ่งทำให้ยากขึ้นชี้จุดข้อผิดพลาด ดังเช่นตัวอย่างนี้ ถ้าเปลี่ยน 1 ให้เป็น x แล้วค่าของ 0 จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ x - x และค่าของ 2 ก็จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ x + x จากตัวอย่างด้านบนจึงสามารถเขียนให้อยู่ในอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

แนวความคิดที่ใช้กับเลขคณิตพื้นฐาน มีความคล้ายกันกับโครงสร้างเชิงพีชคณิตทั่วไป เช่นในเรื่องของริงและฟีลด์ ในฟีลด์หนึ่งๆ องค์ประกอบทุกอย่างที่ไม่เป็นศูนย์จะสามารถอินเวิร์สได้ภายใต้การคูณ ดังนั้นการหารจึงเป็นปัญหาอยู่ที่การหารด้วยศูนย์เท่านั้น เหตุผลดังกล่าวยังคงเป็นจริงในสกิวฟีลด์ (skew field) (ด้วยเหตุผลนี้จึงเรียกได้ในอีกชื่อว่า ริงการหาร) แต่อย่างไรก็ตาม การหารด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์อาจทำให้เกิดปัญหาได้ในริงอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาริง Z/6Z ของจำนวนเต็ม mod 6 คำถามคือเราจะให้ความหมายกับนิพจน์ 22{\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}} ได้อย่างไร ซึ่งควรจะมีคำตอบ x เพียงหนึ่งเดียวสำหรับสมการ 2x = 2 ในจำนวนจริง แต่ 2 ไม่สามารถมีอินเวิร์สของการคูณภายใต้ริง Z/6Z และสมการนี้มีคำตอบได้สองอย่างคือ x = 1 และ x = 4 ดังนั้นนิพจน์ 22{\displaystyle \textstyle {\frac {2}{2}}} จึงไม่นิยาม

เราอาจสามารถนิยาม a0{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} ได้โดยพิจารณาลิมิตของ ab{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} เมื่อ b มีค่าเข้าใกล้ 0

ดังนั้น เราอาจนิยามให้ a0{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} มีค่าเป็น +? เมื่อ a เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น ?? เมื่อ a เป็นจำนวนลบ อย่างไรก็ตามการนิยามนี้อาจทำให้เกิดความยุ่งยากด้วยเหตุผลสองประการ

นอกเหนือไปจากนั้น นิยามของ 00{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} ไม่สามารถกำหนดได้โดยหาลิมิตบนเศษส่วน เนื่องจากลิมิต

ในกรณีที่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ทั้ง f (x) และ g (x) มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ คำตอบของลิมิตอาจจะลู่เข้าไปยังค่าใดค่าหนึ่ง หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ (โดยใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลช่วยคำนวณ) ซึ่งแนวความคิดนี้ก็ยังไม่สามารถนำไปสู่การนิยาม 00{\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} ได้อยู่ดี (เพราะมีหลายคำตอบ)

การคำนวณแบบรูปนัย (formal calculation) เป็นตัวอย่างหนึ่งที่นำมาอธิบายการคำนวณในกฎเกณฑ์ทางเลขคณิต โดยไม่มีการพิจารณาว่าผลลัพธ์จากการคำนวณจะถูกนิยามไว้แล้วเป็นอย่างดีหรือไม่ ดังนั้นการกำหนดให้ a0{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{0}}} มีค่าเป็น ? เมื่อ a มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เป็นกฎเกณฑ์อย่างหยาบ (rule of thumb) ในบางครั้งก็อาจมีประโยชน์ ซึ่งค่าอนันต์นี้จะสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ หรือไม่มีเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับบริบทที่แวดล้อม ดังตัวอย่างนี้เป็นการคำนวณแบบรูปนัย

ซึ่งจะเกิดผลลัพธ์ที่ไม่น่ายอมรับแต่ก็สามารถนำไปใช้ได้ เช่นเดียวกับการคำนวณแบบรูปนัยอื่นๆ สำหรับความถูกต้องตามตรรกะซึ่งตรงข้ามกับแบบรูปนัยอาจจะกล่าวเพียงว่า

(+? ไม่ใช่จำนวน แต่เป็นวัตถุอย่างหนึ่งที่นำแนวคิดไปสู่เส้นจำนวนจริง คล้ายกับแนวคิดที่ว่า เซตของจุดเป็นสมาชิกของการยุบขนาดมิติ (compactification) บนส่วนของเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดสองจุด ในทอพอโลยี)